이차함수 그래프 | 중3 수학 | 홈런 중등

아이스크림 홈런과 함께 중학교 3학년 수학 이차함수 그래프에 대해 공부하도록 하겠습니다.
작성자 
아이스크림에듀 뉴스룸
작성시간
2023-12-07
안녕하세요. 공부를 좋아하는 습관을 만들어주는 아이스크림홈런 입니다.
이번 시간에는 중학교 3학년 수학 이차함수 그래프 에 대하여 함께 공부하도록 하겠습니다.

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이차함수 그래프란?

이차함수 그래프는 중학교 3학년 수학에서 중요한 주제 중 하나인데요,
일반적으로 이차함수는 다음과 같은 형태로 표현됩니다.

f(x)=ax2+bx+c

여기서 a, b, c 는 상수이며, x는 변수입니다.
이차함수의 그래프는 파라볼라(parabola)라고 불리는 곡선으로 나타납니다.  파라볼라의 모양은 아래로 볼록한 경우와 위로 볼록한 경우 두 가지가 있을 수 있습니다.
 

  1. 위로 볼록한 경우: a>0인 경우

    • a>0인 경우, 이차함수의 그래프는 위로 볼록한 모양을 갖습니다. 이는 그래프가 x축 위를 향하며, 꼭지점이 최솟값인 점으로 향합니다.

  2. 아래로 볼록한 경우: a<0인 경우

    • a<0인 경우, 이차함수의 그래프는 아래로 볼록한 모양을 갖습니다. 이는 그래프가 x축 아래를 향하며, 꼭지점이 최댓값인 점으로 향합니다.

또한, 이차함수의 그래프의 꼭지점은 다음과 같은 식을 통해 찾을 수 있습니다:
 (−b/2a,f(−b/2a))

이차함수의 그래프를 그리거나 분석할 때, 꼭지점, x절편, y절편, 대칭축 등을 이해하는 것이 중요합니다.
또한, 그래프를 그리기 위해서는 여러 가지 x값에 대응되는 f(x) 값을 계산하여 점을 찍고, 그 점들을 연결하여 완전한 그래프를 그릴 수 있습니다.



이차함수 그래프를 활용한 문제 풀이

1. 이차함수 f(x)=−2x2+4x+1의 그래프 상에서 다음을 구하세요.
  1. 꼭지점의 좌표
  2. x축과의 교점(근)
  3. 그래프가 어떤 모양인지 (위로 볼록한가 아래로 볼록한가)

1. 꼭지점의 좌표 구하기:

이차함수의 꼭지점은 (−b/2a,f(−b/2a))로 구할 수 있습니다. 여기서 a=−2, b=4입니다.

x=1일 때의 f(x) 값을 구합니다.


따라서 꼭지점은 (1,3)입니다.

2. x축과의 교점(근) 구하기:

x축과의 교점은 f(x)=0일 때의 x 값입니다. 따라서 f(x)=−2x2+4x+1=0을 풀면 근을 구할 수 있습니다. 이를 판별식을 이용하여 해결할 수도 있습니다.

따라서 판별식 값이 양수이므로 근이 두 개 존재합니다. 근의 공식을 이용하여 x 값을 구할 수 있습니다.

따라서 x축과의 교점은 아래와 같습니다.


3. 그래프의 모양 확인하기:
주어진 이차함수의 a 값이 -2이므로 a<0입니다. 따라서 이 그래프는 아래로 볼록한 모양을 가집니다.




2. 이차함수 f(x)=x2−6x+8의 그래프 상에서 다음을 구하세요.
  1. 꼭지점의 좌표
  2. x축과의 교점(근)
  3. 그래프가 어떤 모양인지 (위로 볼록한가 아래로 볼록한가)

1. 꼭지점의 좌표 구하기:

이차함수의 꼭지점은 (−b/2a,f(−b/2a))로 구할 수 있습니다. 여기서 a=1, b=−6입니다.

x=3일 때의 f(x) 값을 구합니다.

따라서 꼭지점은 (3,−1)입니다.

2. x축과의 교점(근) 구하기:

x축과의 교점은 f(x)=0일 때의 x 값입니다. 따라서 f(x)=x2−6x+8=0을 풀면 근을 구할 수 있습니다. 이를 판별식을 이용하여 해결할 수도 있습니다.


따라서 판별식 값이 양수이므로 근이 두 개 존재합니다. 근의 공식을 이용하여 x 값을 구할 수 있습니다.


3. 그래프의 모양 확인하기:
주어진 이차함수의 a 값이 1이므로 a>0입니다. 따라서 이 그래프는 위로 볼록한 모양을 가집니다.





지금까지 중학교 3학년 수학 이차함수 그래프 에 대해 알아봤는데요.
이차함수 그래프를 잘 이해하는 것은 수학적 문제 해결 능력과 논리적 사고력을 향상시키며, 과학, 공학, 경제학, 컴퓨터 과학 등의 다양한 분야에서 진로 선택에 도움이 되는 등 여러 방면에서 응용 가능성을 높일 수 있어요.
홈런과 함께한 이차함수, 유용하셨나요?

그럼, 지금까지 공부를 좋아하는 습관을 만들어주는 아이스크림 홈런이었습니다!



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