삼각형 내접원 | 중3 수학 | 홈런중등

아이스크림 홈런과 함께 중학교 3학년 수학 삼각형 내접원에 대해 알아보도록 하겠습니다.
작성자 
아이스크림에듀 뉴스룸
작성시간
2023-12-22

안녕하세요, 중학교 3학년 여러분
이번 시간에는 삼각형 내접원에 대해 알아보도록 하겠습니다.

중학교 공부도 역시 아이스크림 홈런>

삼각형 내접원의 특징

 

1. 내접원의 중심과 삼각형 꼭지점은 일직선상에 있다.

: 내접원의 중심은 삼각형 각 꼭지점과 일직선상에 놓여있습니다.
이는 삼각형의 내접원이 특별한 교차점을 형성하고 있다는 것을 의미합니다.
 

2. 내접원의 반지름은 삼각형의 세 변에 내접하면서 만나는 점으로부터의 거리이다.

: 내접원의 반지름은 삼각형의 세 변에 내접하는 점에서 각 변까지의 거리로 정의됩니다.
이 거리는 삼각형의 세 변에 내접함으로써 특별한 관계를 형성하게 됩니다.
 

3. 삼각형의 세 변에 내접하는 원은 하나뿐이다.

: 어떤 삼각형이든 하나의 내접원만 존재합니다.
이러한 특징은 내접원이 삼각형의 기하학적 특성을 정확하게 표현하고 있다는 것을 의미합니다.

 

삼각형 내접원의 활용

삼각형 내접원은 다양한 수학적 문제에서 중요한 역할을 하는데요, 지금부터 삼각형 내접원이 어떻게 활용되는지 알아보겠습니다.
 

1. 삼각형의 높이와 밑변 관계 이해

: 내접원은 삼각형의 높이와 밑변 사이의 관계를 통해 기본적인 삼각형의 성질을 이해하는 데 도움을 줍니다.
 

2. 삼각형의 넓이 계산

: 내접원을 활용하여 삼각형의 넓이를 계산할 수 있습니다.
특히, 헤론의 공식을 이용하여 내접원의 반지름을 활용할 수 있습니다.
 

3. 비슷한 삼각형의 특성 이해

: 같은 내접원을 가지는 두 삼각형은 서로 비슷한 성질을 갖고 있기 때문에, 
내접원을 이용하여 삼각형들 간의 관계를 이해할 수 있습니다.

 

삼각형 내접원의 수학적 표현과 계산

삼각형의 세 변의 길이가 주어졌을 때, 내접원의 반지름과 중심 좌표를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.
 

1. 내접원의 반지름 r 계산

: 삼각형의 반 둘레인 s를 계산하고, 내접원의 반지름 r은 다음과 같이 계산됩니다.

 

2. 내접원의 중심좌표 O(x,y) 계산

: 각 꼭지점의 좌표를 이용하여 내접원의 중심 좌표를 다음과 같이 계산합니다.


지금까지 삼각형 내접원에 대해 알아봤는데요, 
이를 바탕으로 몇가지 응용문제를 풀어보도록 하겠습니다.

 

응용문제 알아보기

문제1 : 삼각형 ABC의 세 변의 길이가 각각 a=8, b=15, c=17일 때, 내접원의 반지름과 삼각형의 넓이를 계산하세요.

내접원의 반지름r을 구하기 위해, 삼각형의 반 둘레인 s를 계산합니다.

내접원의 반지름 r은 다음과 같이 계산됩니다.


여기서 삼각형의 넓이는 헤론의 공식을 이용하여 계산할 수 있습니다.
헤론의 공식에 따라 삼각형의 넓이 A는 다음과 같습니다.



문제 2: 삼각형 ABC의 각 꼭지점의 좌표가 각각 A(0,0), B(4,0), C(2,3)일 때, 내접원의 중심 좌표를 계산하세요.

풀이 : 각 꼭지점의 좌표를 이용하여 내접원의 중심 좌표를 다음과 같이 계산합니다.



삼각형 내접원 개념을 활용한 응용문제까지 살펴봤습니다. 
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