다항식 | 중2 수학 | 홈런중등

아이스크림 홈런에서 중학교 2학년 수학 다항식의 개념와 풀이 방법에 대해 소개해 드리도록 하겠습니다.
작성자 
아이스크림에듀 뉴스룸
작성시간
2024-03-20
고등학교 입학 후 가장 먼저 접하는 수학 내용은 바로 다항식입니다.
수학에서 가장 많이 쓰는 수식이 다항식이고 앞으로도 방정식과 함께 함수 등의 개념을 공부하면서 계속 사용할 것이기 때문에
다항식에 대한 이해는 영어의 기초인 알파벳을 공부하는 것처럼 기본중의 기본이라고 볼 수 있습니다.

오늘 아이스크림 홈런에서는 다항식의 정의와 개념 및 덧셈 뺄셈의 연산에 대해 한번 배워보도록 할게요.



다항식이란?

다항식은 말 그대로 항이 많은 식이라는 뜻입니다. 단항식의 합으로 연결된 식으로 쉽게 말해 단항식을 덧셈이나 뺄셈으로 연결하면 다항식이 되는 것입니다.


다항식 하나를 예를 들어보면,


각 항들마다 문자가 곱해진 개수가 다릅니다.
첫번째 항은 문자가 세번 곱해져 있고요. 마지막항은 문자가 곱해져 있지 않습니다.

이러한 항들을 분류하기 편하게 차수라는 기준을 정하였고 문자가 n번 곱해진 항은 n차항이라고 합니다.
그럼 첫번째 항은 3차항, 두번째항은 2차항이 되는 겁니다.
문자가 곱해지지 않은 항은 0차항이라고 부르는 대신 ‘상수항’이라고 부릅니다.



[ 동류항, 상수항, 이차식, 전개 ]

동류항 : 문자도 같고 차수도 같은 항을 말합니다.

예를 들어 2x와 -3x는 동류항, 4와 -2도 동류합니다.
2x와 2y는 문자가 다르므로 동류항이 아닌 겁니다.
상수항 : 문자는 없고 숫자로만 이루어진 항으로 에서 상수항은 -5입니다.
이차식 : 다항식의 각 항의 차수 중에서 가장 큰 차수가 2인 다항식으로 예를 들어 는 가장 큰 차수가 2이므로 이차식이라고 합니다.
전개 : 괄호를 열어서 펼친다는 뜻으로 단항식과 다항식의 곱을 분배법칙을 이용하여 하나의 다항식으로 만드는 것을 말합니다.


1. 다항식의 계산

(1) 다항식의 덧셈과 뺄셈
  • 다항식의 덧셈과 뺄셈은 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 계산합니다.
  • 동류항 : 문자와 차수가 각각 같은항
  • 차수 : 어떤 항에서 문자가 곱해진 개수

1학년때의 다항식의 계산과 달라진 것이 있다면 문자의 개수와 차수가 늘어났다는 겁니다.
1학년때는 문자가 한 개, 차수가 1이었죠. 이제는 문자의 개수가 2개 이상이고 차수도 2로 높아집니다.

하지만 문자와 차수가 같은 동류항끼리 묶어서 계산한다는 원칙만 기억하고 있다면 크게 어렵지는 않습니다.

2a + b + 3a – 2b라는 식을 볼까요?

a라는 문자와 b라는 문자가 있습니다. 2a와 3a가 동류항이고, b와 -2b가 동류항이죠.
각각을 따로 계산합니다.
2a + b + 3a – 2b
= 2a + 3a + b -2b
= 5a -b 가 됩니다.

여기서 괄호가 있으면 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고 동류항끼리 묵어서 계산합니다.
또 괄호가 여러 개 있으면 소괄호(), 중괄호{}, 대괄호[]순으로 풀어요.
3(5a – 2b) – (3a + b)
= 15a – 6b -3a – b
= 15a – 3a -6b – b
= 12a – 7b로 계산하면 됩니다.


(2) 이차식의 덧셈과 뺄셈
  • 이차식 : 한 문자에 대한 차수가 2인 다항식을 그 문자에 대한 이차식이라고 부릅니다.
  • 이차식의 덧셈과 뺄셈 : 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 계산합니다.

 
2. 단항식과 단항식 / 다항식의 계산
  (1) 전개
  • 정의 : 다항식의 곱을 괄호를 풀어 하나의 다항식으로 나타내는 것을 말합니다.
  • 전개식 : 전개하여 얻은 다항식을 말합니다.
(2) (다항식) / (단항식)의 계산
  • (다항식) / (단항식)은 다음과 같은 방법으로 계산합니다.
  • 나눗셈은 곱셈으로 바꾼 후 전개합니다.

 
3. 다항식과 단항식의 혼합 계산
(1) 계산 방법
  • 거듭제곱이 있으면 지수법칙을 이용하여 거듭제곱을 먼저 계사합니다.
  • 분배법칙을 이용하여 곱셈, 나눗셈을 계산합니다.
  • 동류항끼리 모아서 덧셈, 뺄셈을 계산합니다.
  • 이렇듯 큰 틀에서 보면 1학년때 배웠던 동류항의 계산과 똑같으니 어렵게 생각할 필요는 없습니다. 다만 항의 개수가 늘다 보니 뭔가 더 복잡해 보이고 어려워 보이는 것뿐입니다.
  • 계산과정에서 실수가 많이 나올 수 있으니 집중해서 풀고 계산할 때 한 항에는 줄을 긋는 등의 표시를 하는 방법도 추천 드립니다.

이차식에서는 동류항이 이차항, 일차항, 상수항의 세 항이 있으니까 따로 계산하면 됩니다.
그리고 답을 쓸 때는 내림차순으로 적습니다.






큰 틀에서 보면 2학년 때의 동류항의 계산과 유사하니 어렵게 생각할 필요는 없습니다.
다만 항의 개수가 늘어나다 보니 뭔가 더 복잡해 보이고 어려워 보이는 것뿐입니다.

계산과정에서 실수가 많이 나올 수 있으니 집중해서 풀어보세요. 계산을 할 때는 한 항에는 줄을 긋는 등의 표시를 통해 실수를 줄이면 좋습니다.
지금까지 아이스크림 홈런 중등에서 다항식의 이해와 연산에 대해 공부하였습니다.

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