이차방정식의 활용 | 중3 수학 | 홈런 중등

안녕하세요. 공부를 좋아하는 습관, 아이스크림 홈런입니다.
오늘은 중3 수학 중에서도 이차방정식의 활용에 대해서 알아보겠습니다.


이차방정식은 크게 수와 도형의 활용 문제로 나누어지며, 활용 문제를 푸는 과정은 다음과 같이 동일합니다.
1) 미지수 정하기 > 2) 이차방정식 세우기 > 3) 이차방정식 풀기 > 4) 확인하기

문제를 푸는 과정을 확인했다면, [이차방정식의 활용 > 수] 에 대해서 먼저 알아보겠습니다.
이차방정식의 활용 > 수에는 3가지 경우의 수가 있습니다.
① 연속하는 두 정수 >   x ,   x +1
② 연속하는 세 정수 > x-1, x, x+1 (단, x는 정수)
③ 연속하는 두 홀수(짝수) > x, x+2

예시 문제1) 연속하는 두 홀수의 곱이 143일 떄, 이 두 홀수의 합을 구하시오.
[문제풀이 해설]
x × (x+2) = 143
x² + 2x – 143 = 0
x=11 or x= -13 단, x가 정수이니 답은 11입니다.

다음은 [이차방정식의 활용 > 쏘아 올린 물체] 유형에 대해서도 자세히 알아보겠습니다.
쏘아 올린 물체의 유형 문제를 풀 때의 가정은 아래와 같습니다.
① 쏘아올린 물체의 높이가 hm인 경우는 올라갈 떄와 내려올 때 두 번 생긴다. (단, 가장 높이 올라간 경우는 제와)
② 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 ( 0 )이다.

예시 문제2) 지면에서 초속 20m로 쏘아 올린 물체의 t초 후의 높이가 (20t-5t²)m일 때,
이 물체가 다시 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올린 지 몇 초 후인지 구하시오.

[문제풀이 해설]
h= 20t-5t²
지면에 떨어질 때, h=0을 의미합니다.
따라서 20t-5t=0
t²-4t=0, t(t-4)=0 따라서 t=4, 답은 4초 후입니다.

■ 정리하기
1) 수에 관련된 이차방정식 문제는 미지수를 정해서 이차방정식을 세운 후 계산하면 됩니다!
→ 차가 2인 두 자연수의 곱이 주어지면, 두 자연수를 x, x+2 또는 x-2, x로 놓고 방정식을 세우세요!
2) 쏘아 올린 물체는 t초 후의 높이가 이차식으로 주어집니다! 그렇기에 지면에 떨어질 때 높이를 0으로 두고 이차방정식을 풀면됩니다!

다음은 [이차방정식의 활용 > 도형] 에 대해서 알아보겠습니다..
① (직사각형의 넓이) = (가로의 길이) × (세로의 길이)
② (삼각형의 넓이) = 1/2 x (밑변의 길이) × (높이)
③ (사다리꼴의 넓이) = 1/2 x {(윗변의 길이) + (아랫변의 길이)} × (높이)
④ (원의 넓이) = π  x (밑면의 반지름의 길이)² × (높이)

예시 문제1) 한 변의 길이가 xcm인 정사각형의 가로의 길이를 4cm만큼 줄여서 넓이가 12cm²인 직사각형을 만들었다. x의 값을 구하시오.
[문제풀이 해설]
x × (x-4) = 12
x² - 4x – 12 = 0
x=-2 or x=6 단, x가 정수이니 답은 6입니다.

다음은 [이차방정식의 활용 > 도로] 에 대해서 알아보겠습니다..
이차방정식의 활용 > 도로에서는 길을 제외한 땅의 넓이와 상자를 만드는 문제가 나오게됩니다.
길을 제외한 땅의 넓이 유형을 먼저 알아보면 다음과 같습니다.
(1) 폭이 일정한 도로 문제에서는 도로를 제외한 부분을 하나의 직사각형으로 만든다.
(2) 다음 그림에서 색친한 부분의 넓이는 모두 같다.



상자를 만드는 문제는 다음과 같습니다.
한 변의 길이가 x인 정사각형 모양의 종이의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 a인 정사각형을 각각 잘라 내면 윗면이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들 수 있습니다.



예시 문제1) 다음 그림과 같이 가로와 세로의 길이가 각각 40m, 20m인 직사각형 모양의 잔디밭에 폭이 일정한 길을 만들었다.
길을 제외한 잔디밭의 넓이가 648m²일 때, 이 길의 폭은?


[문제풀이 해설]
(40-2x)(20-x)=648
800-80x-2x²=648
2x²-80x+152=0
x²-40x+76=0, (x-38)(x-2)=0 따라서 x=2m입니다.

■ 정리하기
1) 한 변의 길이가 5인 정사각형의 가로의 길이를 x만큼 줄이고 세로의 길이를 x만큼 늘이면 넓이는 (5-x)(5+x)가 됩니다.
2) 다음 세 직사각형에서 색칠한 부분의 넓이는 모두 같습니다!


지금까지 중3 수학에서 어렵지만 그만큼 중요한 이차방정식의 활용에 대해서 알아보았습니다!
중등 수학 역시, 홈런 중등인 거 아시죠? 따라만해도 성적이 오르니까, 지금 바로 홈런 중등 시작하세요!

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